表記法など

公開日: 2022/09/07

略記

数学的な主張に使われる表現の一部に対して、以下のような略記をする。

  • $\And$: 「かつ」
  • $\Or$: 「または」
  • $\implies$: 「ならば」
  • $\Not$: 「～でない」
  • $\iff$:「両辺は同値」
  • $\Forall (\cdots).$:「任意の$(\cdots)$に対して...」
  • $\Exists (\cdots).$:「ある$(\cdots)$が存在して...」
  • ${}\defeq{}$: 「左辺を右辺(の値)により定義する」
  • $\defiff$: 「左辺を右辺(の条件)により定義する」

補助記号として括弧を使うが、適宜省略する。

「任意の正の実数$\eps$に対して、ある自然数$N$が存在して、任意の$n\geq N$を満たす自然数$n$に対して$|a_n - a|\lt\eps$」

$$ \Forall \eps>0. \Forall n\in\N. n\geq N \implies |a_n - a|\lt\eps $$

本来なら$\Forall\eps\in\R.\eps>0\implies\cdots$と書くべきところだが、量化の範囲が明らかなのでこのような略記をする。

メタ変数

特定の範囲を動く変数に対して、以下のような記号を使うことがある。

  • 変数: $x,y,z,\ldots$
  • 様々な対象: $A,B,C,\ldots$
  • 論理式: $\vphi,\psi$(など)
  • 論理式の集合・文脈: $\Gamma,\Delta$(など)

その他

  • $0$は自然数に含まれるものとする
  • 推論の妥当性を表す記号$\vdash,\nvDash$に関して、推論の図式(schema)における量化を略すことがある。例えば、
    • $\vphi\land\psi\vdash\psi\land\vphi$: 「任意の$\vphi,\psi\in\Fml$に対して」という意味
    • $\nvDash\vphi\lor\lnot\vphi$: 「ある$\vphi\in\Fml$が存在して」という意味